Question

17．將圓x²+y²=1上每一點的縱坐標保持不變，橫坐標變為原來的2倍，得到曲線C．
（1）寫出曲線C的參數方程；
（2）過點$N（\sqrt{3}，0）$的直線l與C的交點為A，B，與y軸交于點M，且$\overrightarrow{AM}={λ_1}\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{BM}={λ_2}\overrightarrow{BN}$，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，故可寫出曲線C的參數方程；
（2）設直線l的方程 為$x=my+\sqrt{3}$，與$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$聯立得$（{m^2}+4）{y^2}+2\sqrt{3}my-1=0$，利用韋達定理，結合$\overrightarrow{AM}={λ_1}\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{BM}={λ_2}\overrightarrow{BN}$，求λ₁+λ₂的值．

解答 解：（1）設（x₀，y₀）為圓上的點，在已知變換下變為曲線C上點（x，y），依題意，
得$\left\{\begin{array}{l}x=2{x_0}\\ y={y_0}\end{array}\right.$，從而$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{x}{2}\\{y_0}=y\end{array}\right.$，由${x_0}^2+{y_0}^2=1$，從而得到$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$
即曲線C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，故C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數）．
（2）設直線l的方程 為$x=my+\sqrt{3}$，與$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$聯立得$（{m^2}+4）{y^2}+2\sqrt{3}my-1=0$
設A（x₁，y₁）B（x₂y₂），則${y_1}+{y_2}=-\frac{{2\sqrt{3}m}}{{{m^2}+4}}$，${y_1}{y_2}=-\frac{1}{{{m^2}+4}}$
直線l與y軸交點$M（0，-\frac{{\sqrt{3}}}{m}）$
由$\overrightarrow{AM}={λ_1}\overrightarrow{AN}$得$（-{x_1}，-\frac{{\sqrt{3}}}{m}-{y_1}）={λ_1}（\sqrt{3}-{x_1}，-{y_1}）$∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{m}-{y_1}=-{λ_1}{y_1}$
從而${λ_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{{m{y_1}}}+1$，同理${λ_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{{m{y_2}}}+1$∴${λ_1}+{λ_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{m}（\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}）+2=\frac{{\sqrt{3}}}{m}\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{y_1}{y_2}}}+2=8$．

點評 本題考查曲線方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，屬于中檔題．