Question

有4名老師和4名學生站成一排照相．（必須寫出解析式再算出結果才能給分）
（1）4名學生必須排在一起，共有多少種不同的排法？
（2）任兩名學生都不能相鄰，共有多少種不同的排法？
（3）老師和學生相間排列，共有多少種不同的排法？

Answer 1

分析：（I）相鄰問題用“捆綁法”，把4個學生綁在一起，看做一個整體，有A₄⁴種方法，將此整體和4個老師進行全排列，有A₅⁵種方法，根據分步計數原理求得滿足條件的排法種數．
（II）不相鄰問題用“插空法”，先將4個老師進行用全排列有A₄⁴種方法，再把4個學生插入5個空中的4個中去，有A₅⁴種方法，根據分步計數原理求得滿足條件的排法種數．
（III）只有兩種間隔法，即老師在排頭，或學生在排頭，可得共有 2A₄⁴A₄⁴種不同的排法．

解答：解：（I）用“捆綁法”把4個學生綁在一起，看做一個整體，有A₄⁴種方法，
將此整體和4個老師進行全排列，有A₅⁵種方法，
根據分步計數原理求得滿足條件的排法共有 A₄⁴A₅⁵=2880種．    （4分）
（II）先將4個老師進行用全排列有A₄⁴種方法，再把4個學生插入5個空中的4個中去，有A₅⁴種方法，
故用“插空法”求得任兩名學生都不能相鄰的排法共有 A₄⁴A₅⁴=2880種．    （8分）
（III）只有兩種間隔法，即老師在排頭，或學生在排頭，可得共有 2A₄⁴A₄⁴=1152 種不同的排法． （12分）

點評：本題主要考查排列、組合以及簡單計數原理的應用，體現了分類討論的數學思想，注意把特殊元素與位置綜合分析．相鄰問題用“捆綁法”，不相鄰問題用“插空法”．