Question

平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=，且∠BAD=45°，以BD為折線，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面CBD，連AC。
（1）求異面直線AD與BC所成角大小；
（2）求二面角B-AC-D平面角的大小；
（3）求四面體ABCD外接球的體積。

Answer 1

解：在△ABD中，，易得AB⊥BD，
在四面體ABCD中，以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面BDC的射線為z軸，建立如圖空間直角坐標系。

則D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）
（1）由于，
設AD與BC所成角為，則，
即異面直線AD與BC所成角為
（2）設平面ABC的法向量為，而，
由得：，取 。
再設平面DAC的法向量為，而，
由得：，取，
所以，
所以二面角B-AC-D的大小是
（3）由于△ABC,△ADC均為直角三角形，
故四面體ABCD的外接球球心在AD中點，
又，所以球半徑，
得 。