Question

已知雙曲線的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率為且過點（4，）.

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）直線x=3與雙曲線交于M、N兩點，求證：F₁M⊥F₂M.

Answer 1

（1）解：由雙曲線的離心率為,即=,則,

∴a=b,即雙曲線為等軸雙曲線.

可設其方程為x²-y²=λ(λ≠0).

由于雙曲線過點(4,),

則4²-()²=λ.

∴λ=6.∴雙曲線方程為.

(2)證明：由(1)可得F₁,F₂的坐標分別為(,0),(,0),M,N的坐標分別為(3,),

(3,).

∴=,=.

故·=·.

∴F₁M⊥F₂M.

點評:(1)離心率給定的問題應先研究a,b的關系,簡化設方程的字母個數.

(2)λ≠0時,方程x²-y²=λ,既可表示焦點在x軸上也可表示焦點在y軸上的雙曲線.