Question

已知函數f(x)＝＋bx²＋cx＋d，其中a、b、c是以d為公差的等差數列，且a＞0，d＞0．設x₀為f(x)的極小值點．在[，0]上，(x)在x₁處取得最大值，在x₂處取得最小值．將點(x₀，f(x₀))、(x₁，(x₁))、(x₂，(x₂))依次記為A、B、C．

(1)求x₀的值；

(2)若△ABC有一條邊平行于x軸，且面積為，求a、d的值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本小題考查函數的導數、函數極值的判定、閉區間上二次函數的最值、等差數列等基礎知識的綜合運用， 　　考查用數形結合的數學思想分析問題、解決問題的能力． 　　(1)解：∵2b＝a＋c， 　　∴(x)＝ax2＋2bx＋c＝ax2＋(a＋c)x＋c＝(x＋1)(ax＋c)． 　　令(x)＝0，得x＝－1或x＝． 　　　∵a＞0，d＞0，∴0＜a＜b＜c．∴＞1，＜－1． 　　當＜x＜－1時，(x)＜0． 　　當x＞－1時，(x)＞0． 　　∴f(x)在x＝－1處取得極小值，即x0＝－1． 　　(2)解法一：∵(x)＝ax2＋2bx＋c，a＞0． 　　∴(x)的圖象開口向上，對稱軸方程是x＝－． 　　由＞1，知|()－(－)|＜|0－(－)|， 　　∴(x)在[，0]上的最大值為(0)＝c， 　　即x1＝0．又由＞1，知－∈[，0]． 　　∴當x＝－時，(x)取得最小值(－)＝， 　　即x2＝－． 　　∵f(x0)＝f(－1)＝－a， 　　∴A(－1，－a)、B(0，c)、C(－，)． 　　由△ABC有一條邊平行于x軸，得AC平行于x軸， 　　∴－a＝，即a2＝3d2　　① 　　又由△ABC的面積為，得 　　(－1＋)·(c＋)＝． 　　利用b＝a＋d，c＝a＋2d，得　　② 　　聯立①②可得d＝3，a＝． 　　解法二：∵(x)＝ax2＋2bx＋c，a＞0． 　　∴()＝0，(0)＝c． 　　由c＞0知(x)在[，0]上的最大值為(0)＝c， 　　即x1＝0． 　　由＞1，知－∈[，0]． 　　∴當x＝－時，(x)取得最小值()＝， 　　即x2＝． 　　∵f(x0)＝f(－1)＝－a． 　　∴A(－1，－a)、B(0，c)、C(，)． 　　由△ABC有一條邊平行于x軸，得AC平行于x軸， 　　∴－a＝，即a2＝3d2　　① 　　又由△ABC的面積為，得 　　(－1＋)·(c＋)＝． 　　利用b＝a＋d，c＝a＋2d，得 　　＝　　② 　　聯立①②可得d＝3，a＝．