Question

（2009四川卷文）（本小題滿分12分）

如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，

（I）求證：；

（II）設線段、的中點分別為、，

求證： ∥

（III）求二面角的大小。

Answer 1

【解析】解法一：

因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，

所以BC⊥平面ABEF.

所以BC⊥EF.

因為⊿ABE為等腰直角三角形，AB=AE，

所以∠AEB=45°，

又因為∠AEF=45,

所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.

因為BC平面ABCD, BE平面BCE,

BC∩BE=B

所以

    …………………………………………6分

（II）取BE的中點N,連結CN,MN,則MNPC

∴  PMNC為平行四邊形,所以PM∥CN.

∵  CN在平面BCE內,PM不在平面BCE內,

∴  PM∥平面BCE.                  …………………………………………8分

（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.

作FG⊥AB,交BA的延長線于G,則FG∥EA.從而FG⊥平面ABCD,

作GH⊥BD于H,連結FH,則由三垂線定理知BD⊥FH.

∴  ∠FHG為二面角F-BD-A的平面角.

∵  FA=FE,∠AEF=45°,

∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

設AB=1,則AE=1,AF=,則

在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,

,                                        

在Rt⊿FGH中, ,

∴  二面角的大小為

                      …………………………………………12分                                       

解法二: 因等腰直角三角形，，所以

又因為平面，所以⊥平面，所以

即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標系,

 (I) 設，則，

 

∵，∴，

從而                                        

，

于是，

         ∴⊥,⊥

       ∵平面，平面，

       ∴

（II），從而

     于是

     ∴⊥，又⊥平面，直線不在平面內，

      故∥平面

（III）設平面的一個法向量為，并設＝（

      

         即

   取，則，，從而＝（1，1，3）

  取平面D的一個法向量為

                                            

故二面角的大小為