Question

設函數f(x)=lg[ax2+x+(b2-b+

1

2

)](a≠0)，若對任意實數b，函數f（x）的定義域為R，則a的取值范圍為

（1，+∞）

．

Answer 1

分析：由函數f（x）有意義，得真數大于＞0，對任意實數b，一元二次不等式ax²+x+（b²-b+

1

2

）＞0恒成立，則

a＞0 △＜0

，解得a的取值范圍．

解答：解：函數f(x)=lg[ax2+x+(b2-b+

1

2

)](a≠0)有意義，則ax²+x+（b²-b+

1

2

）＞0，
當a≠0時，對任意實數b，一元二次不等式ax²+x+（b²-b+

1

2

）＞0恒成立，
∴

a＞0 △＜0

，即a＞0時，1-4a（b²-b+

1

2

）＜0，整理得4a（b²-b+

1

2

）＞1
∵b²-b+

1

2

=(b-

1

2

)2+

1

4

≥

1

4

，
∴a＞

1

4(b2-b+ 1 2 )

≥

1

4× 1 4

=1，
∴函數f（x）的定義域為R時，a的取值范圍是（1，+∞）
故答案為：（1，+∞）

點評：本題考查了對數函數定義域問題，也是一元二次不等式恒成立問題，是容易出錯的題目．