Question

如圖，煤場(chǎng)的煤堆形如圓錐，設(shè)圓錐母線與底面所成的角為α．（α為常數(shù)）

（1）高h(yuǎn)與底面半徑r有什么關(guān)系？
（2）傳輸帶以0.3m³/min往煤場(chǎng)送煤形成新的煤堆，求當(dāng)半徑r=1.7m時(shí)的r對(duì)于時(shí)間t的變化率．
（參考數(shù)據(jù)：π取3.14，1.7²=2.89，1.7³≈4.91，為計(jì)算方便可取3.14×2.89≈9，3.14×4.91≈15）

Answer 1

分析：（1）由題意知，tanα=

h

r

，從而得出高h(yuǎn)與底面半徑r的關(guān)系．
（2）記tmin時(shí)煤堆的體積為V，寫出圓錐的體積公式，求底面半徑對(duì)于時(shí)間的變化率，即半徑的函數(shù)式對(duì)于時(shí)間t求微分，代入所給的數(shù)據(jù)做出結(jié)果．

解答：解：（1）由題意知，tanα=

h

r

，∴h=rtanα…（2分）
（2）記tmin時(shí)煤堆的體積為V，
則V=

1

3

πr2h=

1

3

πr3tanα=0.3t ①…（4分）
∴r=

3	0.9 πtanα

t

1

3

 ②…（5分）
②式兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得r'（t）=

1

3

3	0.9 πtanα

t-

2

3

  ③…（7分）
（注：①式兩邊對(duì)t求導(dǎo)，同樣可得，只不過是隱函數(shù)求導(dǎo)了，教師可以作此理解）
設(shè)r=1.7m時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為t₀，由①得t₀=

πtanα

0.9

×1．73
∴

t

- 2 3 0

=(

πtanα

0.9

)-

2

3

×1．7-2…（10分）
代入③式得，
r'（t）=

1

3

3	0.9 πtanα

t0-

2

3

=

1

3

3	0.9 πtanα

•(

πtanα

0.9

)-

2

3

×1．7-2
=

0.3

πtanα

×1．7-2≈

0.3

9tanα

=

0.033

tanα

（m/min）…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查變化的快慢與變化率，本題解題的關(guān)鍵是注意求的是圓錐的底面半徑對(duì)于時(shí)間的變化率．屬于中檔題．