Question

（2013•崇明縣二模）已知O為△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點，則

AM

•

AO

的值等于

5

．

Answer 1

分析：過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，可得E、F分別是AB、AC的中點．根據Rt△AOE中余弦的定義，算出

AB

•

AO

=

1

2

|AB|

2=8，同理得

AC

•

AO

=

1

2

|AC|

2=2．再由M是BC邊的中點，可得

AM

•

AO

=

1

2

(

AB

+

AC

)•

AO

=

1

2

（8+2）=5．

解答：解：過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，則E、F分別是AB、AC的中點
可得Rt△AEO中，cos∠OAE=

|AE|

|AO|

=

|AB|

2 |AO|

∴

AB

•

AO

=

|AB|

•

|AO|

•

|AB|

2 |AO|

=

1

2

|AB|

2=8，
同理可得

AC

•

AO

=

1

2

|AC|

2=2
∵M是BC邊的中點，可得

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)，
∴

AM

•

AO

=

1

2

(

AB

+

AC

)•

AO

=

1

2

（

AB

•

AO

+

AC

•

AO

）=

1

2

×10=5
故答案為：5

點評：本題將△ABC放在它的外接圓O中，求中線AM對應的向量

AM

與

AO

的數量積之值，著重考查了平面向量的數量積的運算性質和三角形外接圓等知識，屬于中檔題．