Question

汽車和自行車分別從A地和C地同時開出，如圖，各沿箭頭方向（兩方向垂直）勻速前進，汽車和自行車的速度分別是10米/秒和5米/秒，已知AC=100米．（汽車開到C地即停止）
（1）經過t秒后，汽車到達B處，自行車到達D處，設B、D間距離為y，寫出y關于t的函數關系式，并求出定義域．
（2）經過多少時間后，汽車和自行車之間的距離最短？最短距離是多少？

Answer 1

分析：（1）經過t秒后，汽車到達B處、自行車到達D處，利用勾股定理可得BD²=BC²+CD²=125[（t-8）²+16]，從而可求y關于t的函數關系式，及定義域；
（2）利用配方法求函數的最值，可知當t=8秒時，汽車和自行車之間的距離最短．

解答：解：（1）經過t秒后，汽車到達B處、自行車到達D處，
則BD²=BC²+CD²=（100-10t）²+（5t）²=125（t²-16t+80）=125[（t-8）²+16]…（4分）
所以y=BD=

125(t2-16t+80)

=

125[(t-8)2+16]

…（6分）
定義域為：t∈[0，10]…（8分）
（2）∵y=

125[(t-8)2+16]

，t∈[0，10]
∴當t=8時，ymin=

125×16

=20

5

…（12分）
答：經過8秒后，汽車和自行車之間的距離最短．最短距離是20

5

米．…（13分）

點評：本題考查的重點是解決實際問題，解題的關鍵是利用勾股定理構建函數模型，利用配方法解決最值問題，屬于中檔題．