Question

設函數f（x）=x³-6x²+2．
（1）當x∈[-a，a]（a＞0）時，求f（x）的最大值；
（2）設g（x）=|f（x）-k|（x∈[0，6]），用?（k）表示g（x）的最大值，求?（k）的解析式、?（k）的最小值及相應的k的值．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）=0時x的值，然后分區間討論函數的增減性得到函數的極大值點為0，然后討論a的范圍得到f（x）的最大值；
（2）根據（1）求出f（x）的值域為[-30，2]，然后求出f（x）-k的值域，最大大于最小得到關于k的不等式，求出k的范圍，討論k的范圍來取函數g（x）的最大值即?（k），從而得到?（k）即k的值．

解答：解：（1）解f′（x）=3x²-12x=0得x=0或x=4．
由f（x）=x³-6x²+2=f（0）得x=0或x=6，
所以f（x）的最大值M=

2，0＜a≤6 f(a)，a＞6

．


（2）由（1）知f（x）在x∈[0，6]的值域是[f（4），f（6）]或[f（4），f（0）]，即[-30，2]，
所以f（x）-k在x∈[0，6]的值域是[-30-k，2-k]，由|-30-k|＞|2-k|解得k＞-14，
由|-30-k|≤|2-k|解得k≤-14，
所以?(k)=

|k+30|，k＞-14 |k-2|，k≤-14

，
從而?（k）的最小值為m=16，相應的k=-14．

點評：讓學生理解函數的最值及幾何意義，會利用導數研究函數的極值．