Question

已知函數f（x）=x（lnx+m），g(x)=

a

3

x3+x．
（1）當m=-2時，求f（x）的單調區間；
（2）若m=

3

2

時，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于m=-2，則函數f（x）=x（lnx+m）=x（ln x-2），再對函數進行求導，然后令導函數大于0求出x的范圍，令導函數大于0求出x的范圍，即可得到函數的單調區間；
（2）由于m=

3

2

，可得f（x）=x（ln x+

3

2

），列出不等式解出a≥

3(lnx+ 1 2 )

x2

恒成立，求出h(x)=

3(lnx+ 1 2 )

x2

的最大值方法是令其導函數為0求出x的值，分區間討論導函數的正負得到函數的單調區間，根據函數的增減性得到函數的最大值．根據a大于等于h（x）的最大值，求出解集即可得到a的范圍．

解答：解：（1）當m=-2時，f（x）=x（ln x-2）=xln x-2x，
定義域為（0，+∞），且f′（x）=ln x-1．…（2分）
由f′（x）＞0，得ln x-1＞0，所以x＞e．由f′（x）＜0，得ln x-1＜0，所以0＜x＜e．
故f（x）的單調遞增區間是（e，+∞），遞減區間是（0，e）．…（5分）
（2）由于m=

3

2

，可得f（x）=x（ln x+

3

2

）（x＞0），
不等式g（x）≥f（x）即

a

3

x3+x≥x(ln x+

3

2

)恒成立．
由于x＞0，則

a

3

x2+1≥ln x+

3

2

，亦即

a

3

x2≥ln x+

1

2

，所以a≥

3(lnx+ 1 2 )

x2

．
令h(x)=

3(lnx+ 1 2 )

x2

，則h′(x)=

-6lnx

x3

，
由h′（x）=0得x=1，且當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0，
即h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．…（10分）
所以h（x）在x=1處取得極大值h（1）=

3

2

，也是h（x）在定義域上的最大值．
因此要使a≥

3(lnx+ 1 2 )

x2

恒成立，需有a≥

3

2

，故a的取值范圍為[

3

2

，+∞)．…（12分）

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．