Question

（2013•順義區二模）已知正三角形ABC的邊長為1，點P是AB邊上的動點，點Q是AC邊上的動點，且

AP

=λ

AB

，

AQ

=(1-λ)

AC

，λ∈R，則

BQ

•

CP

的最大值為（　　）

• A．

  3

  2

• B．-

  3

  2

• C．

  3

  8

• D．-

  3

  8

Answer 1

分析：利用向量的運算法則和數量積即可化為關于λ的二次函數，利用二次函數的單調性即可得出最大值．

解答：解：如圖所示，

BQ

•

CP

=(

BA

+

AQ

)•(

CA

+

AP

)
=[

BA

+(1-λ)

AC

]•(

CA

+λ

AB

)
=

AB

•

AC

-λ

AB

2+（λ-1）

AC

2+λ(1-λ)

AB

•

AC

=（λ-λ²+1）×1×1×cos60°-λ+λ-1
=

1

2

(-λ2+λ)-

1

2

=-

1

2

(λ-

1

2

)2-

3

8

，（0≤λ≤1）．
當λ=

1

2

時，則

BQ

•

CP

的最大值為-

3

8

．
故選D．

點評：熟練掌握向量的運算法則和數量積的運算性質、二次函數的單調性是解題的關鍵．