Question

已知a∈R，函數(shù)f(x)＝＋lnx－1，g(x)＝(lnx－1)e^x＋x(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))．

(1)討論函數(shù)f(x)在(0，e]上的單調(diào)性；

(2)是否存在實數(shù)x₀∈(0，＋∞)，使曲線y＝g(x)在點x＝x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由．

(3)若實數(shù)m，n滿足m＞0，n＞0，求證：nⁿe^m≥mⁿeⁿ．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)∵，，∴． 　　①若，則，在上單調(diào)遞增； 　　②若，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減， 　　當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 　　③若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減． 　　(2)解：∵，， 　　， 　　由(1)易知，當時，在上的最小值：，即時，． 　　又，∴． 　　曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數(shù)解． 　　而，即方程無實數(shù)解．故不存在． 　　(3)證明： 　　，由(2)知，令得．