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如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F(xiàn)分別是BC,PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:AE⊥PD;
(Ⅱ)若H為PD上的動(dòng)點(diǎn),EH與平面PAD所成最大角的正切值為,求二面角E-AF-C的余弦值.

【答案】分析:(1)要證明AE⊥PD,我們可能證明AE⊥面PAD,由已知易得AE⊥PA,我們只要能證明AE⊥AD即可,由于底面ABCD為菱形,故我們可以轉(zhuǎn)化為證明AE⊥BC,由已知易我們不難得到結(jié)論.
(2)由EH與平面PAD所成最大角的正切值為,我們分析后可得PA的值,由(1)的結(jié)論,我們進(jìn)而可以證明平面PAC⊥平面ABCD,則過E作EO⊥AC于O,則EO⊥平面PAC,過O作OS⊥AF于S,連接ES,則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角,然后我們解三角形ASO,即可求出二面角E-AF-C的余弦值.
解答:證明:(Ⅰ)證明:由四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,可得△ABC為正三角形.
因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC.
又BC∥AD,因此AE⊥AD.
因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,所以PA⊥AE.
而PA?平面PAD,AD?平面PAD且PA∩AD=A,
所以AE⊥平面PAD.又PD?平面PAD,
所以AE⊥PD.

解:(Ⅱ)設(shè)AB=2,H為PD上任意一點(diǎn),連接AH,EH.
由(Ⅰ)知AE⊥平面PAD,
則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中,
所以當(dāng)AH最短時(shí),∠EHA最大,
即當(dāng)AH⊥PD時(shí),∠EHA最大.
此時(shí)
因此.又AD=2,所以∠ADH=45°,
所以PA=2.
因?yàn)镻A⊥平面ABCD,PA?平面PAC,
所以平面PAC⊥平面ABCD.
過E作EO⊥AC于O,則EO⊥平面PAC,
過O作OS⊥AF于S,連接ES,則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角,
在Rt△AOE中,
又F是PC的中點(diǎn),在Rt△ASO中,

在Rt△ESO中,
即所求二面角的余弦值為
點(diǎn)評(píng):求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角.此題是利用二面角的平面角的定義作出∠ESO為二面角E-AF-C的平面角,通過解∠AOC所在的三角形求得∠ESO.其解題過程為:作∠ESO→證∠ESO是二面角的平面角→計(jì)算∠ESO,簡記為“作、證、算”.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖:已知四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中點(diǎn),
求證:
(1)PC∥平面EBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點(diǎn).
(1)證明:AE⊥PD;
(2)設(shè)AB=2,若H為線段PD上的動(dòng)點(diǎn),EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
,求AP的長度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形,∠BCD=60°,PD⊥AD.點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn).
(1)求證:AD⊥面PDE;
(2)若二面角P-AD-C的大小等于60°,且AB=4,PD=
8
3
3
;①求VP-ABED; ②求二面角P-AB-C大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•崇明縣二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,E、F分別是BC,PC的中點(diǎn),AB=2,AP=2.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角E-AF-C的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•吉林二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,點(diǎn)M,N分別在PD,PC上,
PN
=
1
2
NC
,PM=MD.
(Ⅰ) 求證:PC⊥面AMN;
(Ⅱ)求二面角B-AN-M的余弦值.

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同步練習(xí)冊答案
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