Question

在△ABC中，，，BC=2．
（Ⅰ）若，求sinC；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由A與B的度數(shù)求出C的度數(shù)，即可求出sinC的值；
（Ⅱ）由正弦定理列出關系式，根據(jù)B表示出C代入計算即可得證；
（Ⅲ）利用平面向量的數(shù)量積運算化簡所求的式子，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個叫的正弦函數(shù)，由B的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出范圍．
解答：解：（Ⅰ）sinC=sin（π-A-B）=sin=；
（Ⅱ）證明：在△ABC中，由正弦定理得=，
∵BC=2，sinA=，B+C=，
∴AB==4sin（-B）；
（Ⅲ）∵||=2，||=4sin（-B），
∴•=||||cosB=8sin（-B）cosB=8cosB（cosB+sinB）=4sin（2B+）+2
=2+2cos2B+2sin2B=4sin（2B+）+2，
∵B∈（，），∴2B+∈（，），
∴sin（2B+）∈[-1，-），
則•=的取值范圍是[-2，0）．
點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．