Question

已知分別為橢圓的上下焦點，其中也是拋物線的焦點，點是與在第二象限的交點，且.

（1）      求橢圓的方程；（5分）

（2）      已知點和圓，過點的動直線與圓相交于不同的兩

點，在線段上取一點,滿足且.

   求證：點總在某定直線上.（7分）

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）見解析

【解析】(I)根據拋物線的焦點坐標可求出c值，然后利用和拋物線的焦半徑公式求出點M的坐標，根據點M在橢圓上，建立方程可求出橢圓的標準方程.

（1）      證明點Q總在一條直線上，就是證明點Q的坐標總是滿足某條直線方程，設，由和可得四個方程，然后再結合點A、B都在圓上，對四個方程進行變形求解

（1）由知，，設，因在拋物線上，故，又，則，得，而點

在橢圓上，有，又，所以橢圓方程為 （5分）

（2）設，由,得，即  ①     ②

由，得  ③    ,  ④ --------  （7分）

  ①③,得 , ②④,得 -----（9分）

 兩式相加得 ,又點在圓

 上,由(1)知,即在圓上,且,

（2）       ,即,點總在定直線上