Question

已知m、n、s、t為正數，m+n=2，=9其中m、n是常數，且s+t最小值是，滿足條件的點（m，n）是橢圓=1一弦的中點，則此弦所在的直線方程為（ ）
A．x-2y+1=0
B．2x-y-1=0
C．2x+y-3=0
D．x+2y-3=0

Answer 1

【答案】分析：由題設知（）（s+t）=n+m+≥=，滿足時取最小值，由此得到m=n=1．設以（1，1）為中點的弦交橢圓=1于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中點從坐標公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入x²+2y²=4，得，①-②，得2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，k=，由此能求出此弦所在的直線方程．
解答：解：∵sm、n、s、t為正數，m+n=2，=9，
s+t最小值是，
∴（）（s+t）的最小值為4
∴（）（s+t）=n+m+≥=，
滿足時取最小值，
此時最小值為=2+2=4，
得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．
設以（1，1）為中點的弦交橢圓=1于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中點從坐標公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入x²+2y²=4，得
，
①-②，得2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=，
∴此弦所在的直線方程為，
即x+2y-3=0．
故選D．
點評：本題考查橢圓的性質和應用，解題時要認真審題，注意均值不等式和點差法的合理運用．