Question

已知函數f（x）=x²（x-a）+bx
（Ⅰ）若a=3，b=l，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若b=a+

10

3

，函數f（x）在（1，+∞）上既能取到極大值又能取到極小值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若b=0，不等式

f(x)

x

+1nx+1≥0對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，確定切線的斜率，切點的坐標，即可求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求導函數，利用函數f（x）在（1，+∞）上既能取到極大值又能取到極小值，建立不等式，即可求a的取值范圍；
（Ⅲ）不等式

f(x)

x

+1nx+1≥0對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，可化為x+

lnx

x

+

1

x

≥a對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，確定左邊的最小值，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）若a=3，b=l，則f（x）=x³-3x²+x，∴f′（x）=3x²-6x+1
∴f′（1）=3×1²-6+1=-2，f（1）=-1
∴函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+1=-2（x-1），即y=-2x+1；
（Ⅱ）∵b=a+

10

3

，∴f（x）=x³-ax²+（a+

10

3

）x，∴f′（x）=3x²-2ax+a+

10

3

∵函數f（x）在（1，+∞）上既能取到極大值又能取到極小值，
∴

4a2-12(a+ 10 3 )＞0 2a 6 ＞1 3-2a+a+ 10 3 ＞0

，∴5＜a＜

19

3

；
（Ⅲ）若b=0，則f（x）=x²（x-a）
∴不等式

f(x)

x

+1nx+1≥0對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，可化為x+

lnx

x

+

1

x

≥a對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，
設g（x）=x+

lnx

x

+

1

x

，則g′（x）=

x2-lnx

x2

設h（x）=x²-lnx，則h′(x)=

2x2-1

x

（x≥

1

2

）
令h′（x）＜0，∵x≥

1

2

，∴可得

1

2

≤x＜

2

2

；h′（x）＞0，∵x≥

1

2

，∴可得x＞

2

2

∴h（x）在[

1

2

，

2

2

)上單調遞減，在（

2

2

，+∞）上單調遞增
∴h（x）的最小值為h（

2

2

）=

1

2

-ln

2

2

＞0
∴g′（x）＞0，∴g（x）在x∈[

1

2

，+∞)上單調遞增
∴g（x）的最小值為g（

1

2

）=

5

2

-2ln2
∴a≤

5

2

-2ln2．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的極值，考查恒成立問題，確定函數的單調性是關鍵．