Question

已知函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0），α，β為方程f（x）=x的兩根，且0＜α＜β＜

1

a

，0＜x＜α．給出下列不等式：
①x＜f（x）；
②α＜f（x）； 
③x＞f（x）； 
④α＞f（x）．
其中成立的是（　　）

A．①與②

B．①與④

C．②與③

D．③與④

Answer 1

分析：先由已知α，β為方程f（x）=x的兩根轉化為α，β為方程F（x）=ax²+（b-1）x+c=0的兩根，畫出對應圖象即可找出結論．

解答：解：α，β為方程f（x）=x的兩根，
即α，β為方程F（x）=ax²+（b-1）x+c=0的兩根，
∵a＞0且0＜α＜β，對應圖象如下
故當0＜x＜α時，F（x）＞0，
即f（x）＞x，故①正確，③錯誤；
另解：設F（x）=f（x）-x，由已知α、β是F（x）=0的兩根，
∴F（x）=a（x-α）（x-β）．在x∈（0，α）時，f（x）-x=F（x）=a（x-α）（α-β）．
∵a＞0，x-α＜0，x-β＜0，
∴F（x）＞0．∴f（x）＞x．
又a-f（x）=α-[F（x）+x]=α-x-F（x）=α-x-a（x-α）（x-β）=（α-x）[1+a（α-β）]．
∵0＜x＜α＜β＜

1

a

，
∴aβ＜1．
∴1+a（x-β）=1+ax-aβ＞1-aβ＞0．
 而α-x＞0，
∴α-f（x）＞0．
∴f（x）＜α．∴②錯誤，④正確．
故選：B．

點評：本題主要考查二次函數的性質．二次函數的圖象與X軸的交點的橫坐標就是對應方程的根，也是函數的零點．