Question

已知點A、B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-

1

5

，
（1）求M的軌跡C的方程．
（2）若點F₁（-2

5

，0），F₂（2

5

，0），P為曲線C上的點，∠F₁PF₂=

π

3

，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）利用直線的斜率公式即可得出；
（2）利用橢圓的定義及余弦定理、三角形的面積公式即可得出．

解答：解：（1）設點M（x，y），（x≠±5），則kAM=

y

x+5

，kBM=

y

x-5

，
由題意得

y

x+5

×

y

x-5

=-

1

5

，
化為

x2

25

+

y2

5

=1(x≠±5)．
（2）設|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由橢圓的定義可得：m+n=10，
在△PF₁F₂中，由余弦定理得(4

5

)2=m2+n2-2mncos60°，
化為80=（m+n）²-3mn，
把m+n=10代入上式得80=10²-3mn，
解得mn=

20

3

．
∴S△PF1F2=

1

2

mnsin60°=

5 3

3

．
即△PF₁F₂的面積為

5 3

3

．

點評：熟練掌握橢圓的定義及余弦定理、三角形的面積公式、直線的斜率計算公式是解題的關鍵．