Question

（2009•宜昌模擬）△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量

m

=（sinC+

3

+1，2sin

A+B

2

），

n

=（-1，

3

sin

A+B

2

），且

m

⊥

n

．
（1）求角C的大小；
（2）若a=2

3

，c=2，求b．

Answer 1

分析：（1）由平面向量垂直時數量積為0，列出關系式，利用二倍角的余弦函數公式及誘導公式化簡，再根據兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據特殊角的三角函數值及C為三角形的內角，即可求出C的度數；
（2）由（1）求出的C的度數，求出cosC的值，再由a及c的值，利用余弦定理列出關于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴-sinC-

3

-1+2

3

sin²

A+B

2

=0，
化簡得：-sinC-

3

cos（A+B）=1，即

3

cosC-sinC=1，
整理得：sin（

π

3

-C）=

1

2

，又C為三角形的內角，
∴

π

3

-C=

π

6

，即C=

π

6

；
（2）∵a=2

3

，c=2，cosC=

3

2

，
∴根據余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：4=12+b²-6b，
解得b=2或b=4，
則b的值為2或4．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：平面向量的數量積運算，誘導公式，二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．