Question

已知函數，m為正整數．
（I）求f（1）+f（0）和f（x）+f（1-x）的值；
（II）若數列{a_n}的通項公式為（n=1，2，…，m），求數列{a_n}的前m項和S_m；
（III）設數列{b_n}滿足：，b_n+1=b_n²+b_n，設，若（Ⅱ）中的S_m滿足對任意不小于3的正整數n，恒成立，試求m的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函數值的求法令x=1，x=0直接求解f（1）+f（0）；先求得f（1-x）再求解f（x）+f（1-x）．
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的結論，
即=1，從而有a_k+a_m-k=1，然后由倒序相加法求解．
（Ⅲ）將b_n+1=b_n²+b_n=b_n（b_n+1），取倒數轉化為：，從而有．
然后用錯位相消法求得．
再由s_m構造恒成立，用最值法求解．
解答：解：（Ⅰ）=1；
f（x）+f（1-x）===1；（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即=1，∴a_k+a_m-k=1，
由S_m=a₁+a₂+a₃++a_m-1+a_m，①
得S_m=a_m-1+a_m-2+a_m-3++a₁+a_m，②
由①+②，得2S_m=（m-1）×1+2a_m，
∴，（10分）

（Ⅲ）∵，b_n+1=b_n²+b_n=b_n（b_n+1），∴對任意的n∈N*，b_n＞0．
∴，即．
∴．
∵b_n+1-b_n=b_n²＞0，∴b_n+1＞b_n，∴數列{b_n}是單調遞增數列．
∴T_n關于n遞增．當n≥3，且n∈N₊時，T_n≥T₃．
∵
∴．
∴，∴m＜650.5．而m為正整數，
∴m的最大值為650．（14分）
點評：本題主要考查數列與函數的綜合運用，主要涉及了函數求值及規律，數列的通項，前n項和及倒序相加法，裂項相消法求和等問題，屬于難題．