Question

如圖，已知兩定點A（1，0），B（4，0），坐標xOy平面內的動點M滿足．
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程并畫出草圖；
（Ⅱ）是否存在過點A的直線n，使得直線n與曲線C相交于P，Q兩點，且△PBQ的面積等于？如果存在，請求出直線n的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設M（x，y），分別表示出，，代入化簡，
即得軌跡C的方程；
（Ⅱ）求直線方程分斜率存在于不存在，進行討論．（i）若直線n的斜率不存在時，不符合；
（ii）若直線n的斜率為k時，直線n的方程設為y=k（x-1），與圓的方程聯立，消去y，可得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），從而可求 =，點B到直線n的距離，利用△PBQ的面積等于，即可求得直線方程．
解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），則，，代入得，，
化簡即得曲線C的方程為x²+y²=4，草圖如圖所示．-----（5分）
（Ⅱ）（i）若直線n的斜率不存在時，此時點，，△PBQ的面積等于，不符合；-----------（6分）
（ii）若直線n的斜率為k時，直線n的方程設為y=k（x-1），
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯立，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
則，，
∴=，
所以 =，
點B到直線n的距離，
所以△PBQ的面積等于=，解之，
故存在直線n為．-------------（12分）
點評：本題以軌跡為載體，考查軌跡方程的求法，考查是否存在性問題，解題的關鍵是設點、列式、化簡，對于存在性命題，通常轉化為封閉性命題求解．