Question

【題目】對于函數(shù)，若在定義域存在實數(shù)，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”.

（1）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”?并說明理由；

（2）設是定義在上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)

【解析】試題分析：（1）本題實質就是解方程，如果這個方程有實數(shù)解，就說明是“局部奇函數(shù)”，如果這個方程無實數(shù)解，就說明不是“局部奇函數(shù)”，易知有實數(shù)解，因此答案是肯定的；（2）已經(jīng)明確是“局部奇函數(shù)”，也就是說方程一定有實數(shù)解，問題也就變成方程在上有解，求參數(shù)的取值范圍，又方程可變形為，因此求的取值范圍，就相當于求函數(shù) 的值域，用換元法（設），再借助于函數(shù)的單調性就可求出.

試題解析：(1) 為“局部奇函數(shù)”等價于關于的方程有解．

即 （3分）

有解 為“局部奇函數(shù)”．（5分）

(2)當時, 可轉化為（8分）

因為的定義域為,所以方程在上有解,令,（9分）

則

因為在上遞減,在上遞增, （11分）

（12分）

即（14分）