Question

設函數f(x)=x+

a

x+1

，  x∈[0，+∞)．
（1）當a=2時，求函數f（x）的最小值；
（2）當0＜a＜1時，試判斷函數f（x）的單調性，并證明．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，將函數f（x）變形成f(x)=x+

2

x+1

=x+1+

2

x+1

-1，然后利用均值不等式即可求出函數f（x）的最小值；
（2）先取值任取0≤x₁＜x₂然后作差f（x₁）-f（x₂），判定其符號即可判定函數f（x）在[0，+∞）上的單調性．

解答：解：（1）當a=2時，f(x)=x+

2

x+1

=x+1+

2

x+1

-1．（2分）
≥2

2

-1．（4分）
當且僅當x+1=

2

x+1

，即x=

2

-1時取等號，
∴f(x)min=2

2

-1．（6分）
（2）當0＜a＜1時，任取0≤x₁＜x₂f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[1-

a

(x1+1)(x2+1)

]．（8分）
∵0＜a＜1，（x₁+1）（x₂+1）＞1，
∴1-

a

(x1+1)(x2+1)

＞0．（10分）
∵x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[0，+∞）上為增函數．（12分）

點評：本題主要考查了函數的最值的求解，以及函數單調性的判斷與證明，同時考查了計算能力，屬于基礎題．