Question

如圖，已知PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，，F是PB中點，點E在BC邊上．
（I）求三棱錐E-PAD的體積；
（II）求證：AF⊥PE；
（III）若EF∥平面PAC，試確定E點的位置．

Answer 1

（I）解：三棱錐E-PAD的體積等于三棱錐P-EAD的體積
∵PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，，
∴V_P-EAD=
∴三棱錐E-PAD的體積為；
（II）證明：∵PA⊥平面ABCD，EB?平面ABCD，∴EB⊥PA
∵EB⊥AB，PA∩AB=A
∴EB⊥平面PAB
∵AF?平面PAB
∴AF⊥EB
∵PA=AB=1，F是PB中點，∴AF⊥PB
∵EB∩PB=B，∴AF⊥平面PBC
∵PE?平面PBC
∴AF⊥PE；
（III）解：E是BC中點
∵EF∥平面PAC，PC?平面PAC，∴EF∥PC
∵F是PB中點，∴E是BC中點．
分析：（I）利用三棱錐E-PAD的體積等于三棱錐P-EAD的體積，可得結論；
（II）利用線面垂直證明線線垂直，證明AF⊥平面PBC即可；
（III）利用EF∥平面PAC，可得EF∥PC，根據F是PB中點，可得結論．
點評：本題考查幾何體的體積，考查線面垂直，考查線面平行，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．