Question

如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，△PBA是以角B為直角的等腰三角形，H為BD上一點(diǎn)，且AH⊥平面PDB．
（Ⅰ）求證：平面ABCD⊥平面APB；
（Ⅱ）求直線PC與平面PDB所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）利用線面垂直的性質(zhì)定理可得AH⊥PB，又PB⊥AB，利用線面垂直的判定定理可得PB⊥平面ABCD，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；
（II）連接CH，利用ABCD是正方形且AH⊥BD，可得C，H，A三點(diǎn)共線，且H為AC，BD的中點(diǎn)，由AH⊥平面PBD知CH⊥平面PBD，因此∠CPH就是直線PC與平面PBD所成的角．再利用已知求出即可．

解答：（Ⅰ）證明：∵AH⊥平面PBD，PB?平面PBD，
∴AH⊥PB，
又PB⊥AB，AH∩AB=A，∴PB⊥平面ABCD，
而PB?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面APB．
（Ⅱ）解：連接CH，∵ABCD是正方形且AH⊥BD，
∴C，H，A三點(diǎn)共線，且H為AC，BD的中點(diǎn)，
由AH⊥平面PBD知CH⊥平面PBD，
∴PH就是PC在平面PBD內(nèi)的射影，∴∠CPH就是直線PC與平面PBD所成的角．
在Rt△CHP中，CH=

2

2

a，PH=

6

2

a，
∴tan∠CPH=

CH

PH

=

3

3

，
∴∠CPH=30°，
∴cos∠CPH=

3

2

，即直線PC與平面PDB所成角的余弦值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面所成角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力．