Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

      

       （I）求證：平面BCD；

       （II）求異面直線AB與CD所成角余弦值的大小；

       （III）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

方法一：       （I）證明：連結OC

      

                 

       在中，由已知可得

       而

      

       即

      

       平面

       （II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知

       直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角

       在中，

      

       是直角斜邊AC上的中線，

      

    異面直線AB與CD所成角的大小為

    （III）解：設點E到平面ACD的距離為

   

    在中，

   

    而

      

       點E到平面ACD的距離為

       方法二：       （I）同方法一.

       （II）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則

      

      

       異面直線AB與CD所成角

       的大小為

       （III）解：設平面ACD的法向量為則

      

      

       令得是平面ACD的一個法向量。

       又

       點E到平面ACD的距離