Question

解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 已知函數，(x＞0)． (1) 當0＜a＜b，且f(a)＝f(b)時，求證：ab＞1 (2) 是否存在實數a，b(a＜b)，使得函數y＝f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請說明理由． (3) 若存在實數a，b(a＜b)，使得函數y＝f(x)的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb] (m≠0)，求m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：∵x＞0，∴ ∴f(x)在(0，1)上為減函數，在上是增函數． 由0＜a＜b，且f(a)＝f(b)， 可得0＜a1＜b和． 即． ∴2ab＝a＋b＞．……………………………………3分 故，即ab＞1．……………………………………4分
(2)	解：不存在滿足條件的實數a，b． 若存在滿足條件的實數a，b，使得函數y＝的定義域、值域都是 [a，b]，則a＞0． ①當時，在(0，1)上為減函數． 故即 解得a＝b． 故此時不存在適合條件的實數a，b．………………………………6分 ②當時，在上是增函數． 故即 此時a，b是方程的根，此方程無實根． 故此時不存在適合條件的實數a，b．………………………………8分 ③當，時， 由于，而， 故此時不存在適合條件的實數a，b． 綜上可知，不存在適合條件的實數a，b．………………………………10分
(3)	解：若存在實數a，b(a＜b)，使得函數y＝f(x)的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]． 則a＞0，m＞0． ①當時，由于f(x)在(0，1)上是減函數，故．此時刻得a，b異號，不符合題意，所以a，b不存在． ②當或時，由()知0在值域內，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在． 故只有． ∵在上是增函數， ∴即 a，b是方程的兩個根． 即關于x的方程有兩個大于1的實根．……………………12分 設這兩個根為，． 則＋＝，·＝． ∴即 解得． 故m的取值范圍是．…………………………………………14分