Question

【題目】已知過拋物線焦點且傾斜角的直線與拋物線交于點 的面積為．

（I）求拋物線的方程；

（II）設是直線上的一個動點，過作拋物線的切線，切點分別為直線與直線軸的交點分別為點是以為圓心為半徑的圓上任意兩點，求最大時點的坐標．

Answer 1

【答案】（I）；（II）．

【解析】試題分析：

（I）拋物線焦點為，寫出直線方程，與拋物線方程聯立，消元后可得，其中，可再求出原點到直線的距離，由求得，也可由求得；

（II）首先設出點坐標，設，利用導數的幾何意義得出兩切線方程，代入點坐標，從而得直線方程為，從而可得坐標，得的長，而要使最大，則與圓相切，這樣可求得，最后由基本不等式可得最大值．也可用正切函數求最大值．

試題解析：

（I）依題意， ，所以直線的方程為；

由得，

所以，

到的距離，

，拋物線方程為

（II）設，由得，

則切線方程為即，

同理，切線方程為，

把代入可得故直線的方程為即

由得，

，

當與圓相切時角最大，

此時，等號當時成立

當時，所求的角最大．

綜上，當最大時點的坐標為