Question

已知函數f(x)=2sin(

1

3

x-

π

6

)，x∈R，設α，β∈[0，

π

2

]，f(3α+

π

2

)=

10

13

，f（3β+2π）=

6

5

，求cosαcosβ-sinαsinβ的值．

Answer 1

分析：由于f（3α+

π

2

）=2sinα=

10

13

，可得sinα=

5

13

，結合α∈[0，

π

2

]，求得 cosα=

12

13

．同理求得cosβ=

3

5

，sinβ=

4

5

．由此求得cosαcosβ-sinαsinβ 的值．

解答：解：由于f（3α+

π

2

）=2sinα=

10

13

，∴sinα=

5

13

，再由 α∈[0，

π

2

]，可得 cosα=

12

13

．
再由 f（3β+2π）=2sin（β+

π

2

）=2cosβ=

6

5

，
∴cosβ=

3

5

，再由β∈[0，

π

2

]，可得sinβ=

4

5

．
∴cosαcosβ-sinαsinβ=

12

13

×

3

5

-

5

13

×

4

5

=

16

65

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，屬于中檔題．