Question

函數(shù)f（x）=x|x|+x³+2在[-2013，2013]上的最大值與最小值之和為

4

．

Answer 1

分析：化簡函數(shù)為f（x）=

x3+x2+2   (x≥0) x3-x2+2   (x＜0)

，x≥0時(shí)，求f（x）的最大值與最小值；x＜0時(shí)，求f（x）的最小值與極大值；
比較得f（x）在[-2013，2013]上的最大值與最小值是f（-2013），從而求其和．

解答：解：函數(shù)f（x）=x|x|+x³+2=

x3+x2+2   (x≥0) x3-x2+2   (x＜0)

，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x³+x²+2，f′（x）=3x²+2x；
令f′（x）=0，即3x²+2x=0，解得x=0或x=-

2

3

；
∴當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在[0，2013]上的最大值是f（2013）=2013³+2013²+2，最小值是f（0）=2；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x³-x²+2，f′（x）=3x²-2x；
令f′（x）=0，即3x²-2x=0，解得x=0或x=

2

3

；
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）[-2013，0）上的最小值是f（-2013）=（-2013）³-（-2013）²+2=-2013³-2013²+2，且f（x）＜f（0）=2；
∴f（x）在[-2013，2013]上的最大值是f（2013），最小值是f（-2013），
∴最大值與最小值之和為f（2013）+f（-2013）=（2013³+2013²+2）+（-2013³-2013²+2）=4；
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求分段函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，要在每一個(gè)區(qū)間上求出最值，然后比較得出最大值與最小值；是易錯(cuò)題．