Question

27、從自然數序列：1，2，3，4，…中依次劃去3的倍數和4的倍數，但其中5的倍數均保留．劃完后剩下的數依次組成一個新的序列：1，2，5，7，…求該序列中第2002個數．

Answer 1

分析：因為3，4，5的最小公倍數是60，所以可將自然數序列：1，2，3，4，…以60的倍數來分段，先考慮1到60的整數，其中3的倍數有20個，4的倍數有15個，既是3的倍數又是4的倍數的數有5個，則劃去3的倍數和4的倍數還剩60-20-15+5=30個，又還要保留其中的5的倍數6個，這樣還剩36個，即1到60的整數中，劃完后剩下36個，由此推得，每60個一段中，劃完后剩下36個．因2002=36×55+22，說明2002是56段中的第22個數．

解答：解：先考慮1到60的整數
在1到60的整數中，3的倍數有20個，4的倍數有15個，既是3的倍數又是4的倍數的數有5個，所以劃去3的倍數和4的倍數還剩60-20-15+5=30個．
又因為其中5的倍數有6個，需要保留，所以劃完后剩下30+6=36個
因為3，4，5的最小公倍數是60，所以每60個整數一段中，劃完后均剩下36個．
因為2002=36×55+22，所以第2002個數是56段中的第22個數．
又因為第一段中的第22個數是37，
所以該序列中第2002個數是55×60+37=3337．
答：該序列中第2002個數是3337．

點評：本題考查了數的整除性的知識，最小公倍數的應用．解決本題的關鍵是以60做為分段．