Question

關于二次函數(shù)f（x）=x²+（m-1）x+1
（1）若?x∈R，f（x）＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若方程f（x）=0在區(qū)間[0，2]上有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵?x∈R，f（x）＞0恒成立，
∴△=（m-1）²-4＜0
∴m²-2m-3＜0
解得-1＜m，3…（5分）
（2）∵f（x）=0在區(qū)間[0，2]上有解，又f（0）=1≠0
∴f（x）=0在區(qū)間（0，2]上有解
由x²+（m-1）x+1=0得m=1-（x+）…（8分）
當0＜x≤2時，x+由（1）m≤1-2=-1
因此實數(shù)m的取值范圍是：（-∞，-1]…（12分）
分析：（1）由題意可得△=（m-1）²-4＜0，解不等式可求
（2）由f（0）=1≠0可知f（x）=0在區(qū)間（0，2]上有解，由x²+（m-1）x+1=0得m=1-（x+），結合基本不等式可求m的范圍
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的恒成立與基本不等式在函數(shù)的最值求解中的應用，解題的關鍵是熟練掌握基本知識