Question

某同學在學習等徑球最密堆積（立方最密堆積A1和六方最密堆積A3）后，提出了另一種最密堆積形式Ax．如圖所示為Ax堆積的片層形式，然后第二層就堆積在第一層的空隙上．請根據Ax的堆積形式回答：（簡要寫出過程）
（1）計算在片層結構中（如圖所示）球數、空隙數和切點數之比

 

（2）在Ax堆積中將會形成正八面體空隙和正四面體空隙．確定球數、正八面體空隙數和正四面體空隙數之比

 

（3）指出Ax堆積中小球的配位數

 

（4）計算Ax堆積的原子空間利用率．
（5）正八面體和正四面體空隙半徑（可填充小球的最大半徑，設等徑小球的半徑為r）．
（6）已知金屬Ni晶體結構為Ax堆積形式，Ni原子半徑為124.6pm，計算金屬Ni的密度．（Ni的相對原子質量為58.70）
（7）如果CuH晶體中Cu⁺的堆積形式為Ax型，H-填充在空隙中，且配位數是4．則H-填充的是哪一類空隙，占有率是多少？
（8）當該同學將這種Ax堆積形式告訴老師時，老師說Ax就是A1或A3的某一種．你認為是哪一種，為什么？

Answer 1

考點：晶胞的計算

專題：化學鍵與晶體結構

分析：（1）根據均攤法計算，一個球實際占有的空隙數為4×

1

4

=1，占有切點數為4×

1

2

=2，所以球數、空隙數和切點數之比為1：1：2； 
（2）一個球參與六個正八面體空隙，一個正八面體空隙由六個球圍成；一個球參與八個正四面體空隙，一個正四面體空隙由四個球圍成，所以在一個正八面體空隙中占有球的個數為8×

1

8

=1，一個正四面體空隙占有球的個數為4×

1

8

=

1

2

，所以球數、正八面體空隙數和正四面體空隙數之比為1：1：2；
（3）根據圖可知，平面已配位4個，中心球周圍的四個空隙上下各堆積4個，共12個，所以小球的配位數為12；   
（4）以4個相鄰小球中心構成底面，空隙上小球的中心為上底面的中心構成正四棱柱，設小球半徑為r，則正四棱柱邊長為2r，高為r，共包括1個小球（4個1/4，1個1/2），所以空間利用率為

4 3 πr3

(2r)2 2 r

=74.05%；  
（5）在正八面體空隙中，由四個在同一平面的小球構成的正方形的邊長為2r，對角線為2

2

r，所以空隙中的直徑為2

2

r-2r，所以空隙的半徑為（

2

-1）r=0.414r，在正四面體中，體心到頂點的距離為

6

2

r，所以空隙的半徑為

6

2

r-r=0.225r；
（6）根據第（4）題，正四棱柱質量為58.70/N_Ag，體積為(2r)2

2

r=1.094×10^-23cm³，所以密度為

58.7 NA g

1.094×10-23cm3

=8.91g/cm³ 
（7）正四面體為4配位，正八面體為6配位，且正四面體空隙數為小球數的2倍，所以H^-填充在正四面體空隙，占有率為50%；
（8）取一個中心小球周圍的4個小球的中心為頂點構成正方形，然后上面再取兩層，就是頂點面心的堆積形式．底面一層和第三層中心小球是面心，周圍四小球是頂點，第二層四小球（四個空隙上）是側面心．  也可以以相鄰四小球為正方形邊的中點（頂點為正八面體空隙），再取兩層，構成與上面同樣大小的正方體，小球位于體心和棱心，實際上與頂點面心差1/2單位，所以Ax就是A1．

解答： 解（1）根據均攤法計算，一個球實際占有的空隙數為4×

1

4

=1，占有切點數為4×

1

2

=2，所以球數、空隙數和切點數之比為1：1：2，故答案為：1：1：2； 
（2）一個球參與六個正八面體空隙，一個正八面體空隙由六個球圍成；一個球參與八個正四面體空隙，一個正四面體空隙由四個球圍成，所以在一個正八面體空隙中占有球的個數為8×

1

8

=1，一個正四面體空隙占有球的個數為4×

1

8

=

1

2

，所以球數、正八面體空隙數和正四面體空隙數之比為1：1：2，故答案為：1：1：2；
（3）根據圖可知，平面已配位4個，中心球周圍的四個空隙上下各堆積4個，共12個，所以小球的配位數為12，故答案為：12；   
（4）以4個相鄰小球中心構成底面，空隙上小球的中心為上底面的中心構成正四棱柱，設小球半徑為r，則正四棱柱邊長為2r，高為r，共包括1個小球（4個1/4，1個1/2），所以空間利用率為

4 3 πr3

(2r)2 2 r

=74.05%，答：原子空間利用率為74.05%；
（5）在正八面體空隙中，由四個在同一平面的小球構成的正方形的邊長為2r，對角線為2

2

r，所以空隙中的直徑為2

2

r-2r，所以空隙的半徑為（

2

-1）r=0.414r，在正四面體中，體心到頂點的距離為

6

2

r，所以空隙的半徑為

6

2

r-r=0.225r，
答：正八面體和正四面體空隙半徑分別為0.414r、0.225r；
（6）根據第（4）題，正四棱柱質量為58.70/N_Ag，體積為(2r)2

2

r=1.094×10^-23cm³，所以密度為

58.7 NA g

1.094×10-23cm3

=8.91g/cm³，
答：金屬Ni的密度為8.91g/cm³；
（7）正四面體為4配位，正八面體為6配位，且正四面體空隙數為小球數的2倍，所以H^-填充在正四面體空隙，占有率為50%，答：H^-填充在正四面體空隙，占有率為50%；
 （8）取一個中心小球周圍的4個小球的中心為頂點構成正方形，然后上面再取兩層，就是頂點面心的堆積形式．底面一層和第三層中心小球是面心，周圍四小球是頂點，第二層四小球（四個空隙上）是側面心，也可以以相鄰四小球為正方形邊的中點（頂點為正八面體空隙），再取兩層，構成與上面同樣大小的正方體，小球位于體心和棱心，實際上與頂點面心差1/2單位，所以Ax就是A1，
答：為A1；取一個中心小球周圍的4個小球的中心為頂點構成正方形，然后上面再取兩層，就是頂點面心的堆積形式．底面一層和第三層中心小球是面心，周圍四小球是頂點，第二層四小球（四個空隙上）是側面心．

點評：本題主要考查晶胞結構計算，難度較大，對學生的立體幾何的功底要求較高，要有充分的空間想象力．