Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，E是PB上任一點．
（Ⅰ）求證：AC⊥DE；
（Ⅱ）當E是PB的中點時，求證：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）若△AEC面積的最小值是6，求PB與平面ABCD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 證明PD⊥AC，BD⊥AC，得到AC⊥平面PDB，由DE?平面PDB，可得AC⊥DE．
（Ⅱ） 利用EO是三角形BPD的中位線得到EO∥PD，從而證得 PD∥平面AEC．
（Ⅲ）∴∠PBD就是PB與平面ABCD所成的角，當EO最小時，EO⊥PB，據△AEC面積的最小值是6，求得EO的最小值為2，由sin∠PBD=

EO

OB

=

1

2

，求出銳角∠PBD 的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC．
在菱形ABCD中，BD⊥AC，又∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB．
又∵DE?平面PDB，∴AC⊥DE．
（Ⅱ）當E為PB中點時，∵O為BD中點，∴EO∥PD．
∵EO?平面AEC，PD?平面AEC，∴PD∥平面AEC．
（Ⅲ）∵PD⊥平面ABCD，∴∠PBD就是PB與平面ABCD所成的角．
由（Ⅰ）的證明可知，AC⊥平面PDB，∴AC⊥EO．
∵AC=6，∴S△AEC=

1

2

AC•EO=3EO，因其最小值為6，∴EO的最小值為2，
此時EO⊥PB，OB=

1

2

BD=4，∴sin∠PBD=

EO

OB

=

1

2

，
∴PB與平面ABCD成30°的角．

點評：本題考查線線平行、線面垂直的判定，求線面角的大小，判斷EO⊥PB時，EO 最小值為2，是解題的難點．