Question

已知函數f（x），g（x）在R上有定義，對任意x，y∈R有f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y），且f（x）≠0，若f（1）=f（2），則g（-1）+g（1）=

1

．

Answer 1

分析：先利用賦值可判斷函數f（x）為奇函數，然后領x=1，y=-1可求g（1）+g（-1）

解答：解：∵f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y），
∴f（y-x）=g（y）f（x）-g（y）f（x）=-f（x-y），
∵f（0）=f（0）g（0）-g（0）f（0）=0，
∴f（x）為奇函數
對任意x，y∈R有f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y），
又f（1）=f（2）≠0
令x=1，y=-1可得f（2）=f（1）g（-1）-g（1）f（-1）=f（1）
∴f（1）=f（1）g（-1）+g（1）f（1）
∴g（-1）+g（1）=1
故答案為：1

點評：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數的函數值，解題的關鍵是判斷函數的奇偶性．