Question

設拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，2），B（2，-1）兩點，且與y軸相交于點M．
（1）求b和c（用含a的代數式表示）；
（2）在拋物線y=ax²-bx+c-1上橫坐標與縱坐標相等的點的坐標；
（3）在第（2）小題所求出的點中，有一個點也在拋物線y=ax²+bx+c上，試判斷直線AC和x軸的位置關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，2），B（2，-1）兩點，
∴，
解得．
（2）由（1）得，拋物線y=ax²-bx+c-1的解析式是y=ax²+（a+1）x-2a=x，
即ax²+ax-2a=0，
∵a是拋物線解析式的二次項系數，
∴a≠0，
∴方程的解是x₁=1，x₂=-2，
∴拋物線y=ax²-bx+c-1滿足條件的點的坐標是P₁（1，1），P₂（-2，-2）．
（3）由（1）得拋物線y=ax²+bx+c的解析式是y=ax²-（a+1）x+1-2a，
①當P₁（1，1）在拋物線C₁上時，有a-（a+1）+1-2a=1，
解得a=-，這時拋物線y=ax²+bx+c的解析式是y=-x²-x+2，它與y軸的交點是C（0，2）
∵點A（-1，2），C（0，2）兩點的縱坐標相等，
∴直線AC平行于x軸．
②當P₂（-2，-2）在拋物線C₁上時，由4a+2（a+1）+1-2a=-2，
解得a=-，這時拋物線的解析式為y=-x²+x+，它與y軸的交點是C（0，）顯然A、C兩點的縱坐標不相等，
∴直線AC與x軸相交，
綜上所述，當P₁（1，1）在拋物線C₁上時，直線AC平行x軸；當P₂（-2，-2）在拋物線y=ax²+bx+c上時，直線AC與x軸相交．
分析：（1）把A（-1，2），B（2，-1）兩點分別代入拋物線y=ax²+bx+c，即可用a表示出b、c的值．
（2）把（1）中所求b、c的值及x=y代入拋物線y=ax²-bx+c-1，即可求出符合條件的點的坐標．
（3）把（2）中所求的兩點分別代入（1）中拋物線的解析式，即可求出未知數的值，從而求出其解析式，根據其解析式可求出函數圖象與y軸的交點坐標，根據其縱坐標于A點縱坐標的關系即可判斷出直線AC與x軸的關系．
點評：此題考查了用代入法求函數解析式，拋物線上點的坐標特征．第（3）小題要將（2）中所求點代入解析式進行分類討論．