Question

【題目】宇宙空間中，有兩顆初始靜止、質量分別為、的星球，初始時刻兩星球的距離為，以后在引力作用下相向運動，問：從開始運動到相碰為止，共經歷了多少時間？（星球可視為質點）

Answer 1

【答案】

【解析】

在質心系中討論（如圖所示）.

圖中，.

在質心系中，與均落向，所求時間就是與相撞的時間.

以為討論對象，其在落向的過程中所受的萬有引力為

，

其中、分別為兩星落向的過程中兩星的距高及到的距離，.

上述關系對于任何距離都成立.

同時，落向的橢圓的半長軸為.

利用開普勒第三定律得到碰前經歷的時間為

.

整理可得.

兩個星體在相互引力的作用下不離不棄，即我們所說的雙星系統，這是兩體問題的代表模型.在中學常規教學中，我們只討論雙星系統在彼此的引力作用下做圓周運動的情形，而此處將運動推向“橢圓運動”，難度自然增加了不少，但我們不要忽視，我們實際上是有能力處理雙星系統中星體的橢圓運動的.

我們還需要說明的是，對雙星系統的處理，除了本題解答給出的質心系（慣性系）下的處理方法外，也可在以或為參照系（非慣性系）的情況下引入慣性力進行處理，也可以或為引力中心，直接將系統作兩體問題，引入約化質量進行處理，都能得到正確結果.解題方法多樣，個人根據自己的偏好進行選擇，應無所謂優劣，但在應試中，我們以不易出錯且能節省時間的方法為首選.