Question

【題目】[選修4-1：幾何證明選講]如圖，⊙O中 的中點為P，弦PC，PD分別交AB于E，F兩點．

（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G，證明：OG⊥CD．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接PA，PB，BC，

設∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，

∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，

由⊙O中 的中點為P，可得∠4=∠5，

在△EBC中，∠1=∠2+∠3，

又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，

即有∠2=∠4，則∠D=∠1，

則四點E，C，D，F共圓，

可得∠EFD+∠PCD=180°，

由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，

即有3∠PCD=180°，

可得∠PCD=60°

（2）

證明： 由C，D，E，F共圓，

由EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G

可得G為圓心，即有GC=GD，

則G在CD的中垂線，又CD為圓G的弦，

則OG⊥CD．

【解析】（1）連接PA，PB，BC，設∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，運用圓的性質和四點共圓的判斷，可得E，C，D，F共圓，再由圓內接四邊形的性質，即可得到所求∠PCD的度數；（2）運用圓的定義和E，C，D，F共圓，可得G為圓心，G在CD的中垂線上，即可得證．；本題考查圓內接四邊形的性質和四點共圓的判斷，以及圓的垂徑定理的運用，考查推理能力，屬于中檔題．