Question

【題目】如圖所示為一個立方體ABCDEFGH，每邊都用導體接入一個電阻值為r的電阻．試計算下列情況下各總電阻．

（1）A、G點間的等效電阻．

（2）A、D點間的等效電阻．

（3）如果B與F、C與G和D與H之間被短路時，A、G兩點間的等效電阻．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

解析1 這類網絡固然復雜，但是只要利用其對稱性，求解并不困難．

從等電勢角度分析簡化電路．

（1）由于對稱性，設端點A流入電流I，分流后最后在G點匯合流出，B、D、E三點為等勢點，故可用導線連接而不會改變線路的電流．對C、H、F三點來說，情況也是這樣，故可得等效電路如圖所示．

圖中各電阻的阻值均為r，所以A、G間的總電阻為

（2）設想電流從A流入、D流出，由于對稱性，可知B和E等勢，C和H等勢．若用導線將B和E及C和H連接，對電路不會產生任何影響，這時的等效電路如圖所示．

由此可見

，

故，又

，

故．

（3）若BF、CG、DH被短路，則B與F、C與G、D與H等電勢．由于B點與D點具有軸對稱，故B、D也等勢（即B、F、D、H四點等勢），則A與G之間的等效電路，如圖所示．

由圖可知

，

．

又，故

．

方法2從電流分流角度分析電路．

（1）由于對稱性，立方體在A點的三邊AB、AD、AE以及在G點的三邊CG、FG、HG有相等的電流．

從對稱性同樣可得在BC與BF、EF與EH、DH與EH中也有相等的電流．設電流I從A點流入，G點流出，立方體各邊的電流如圖所示．

根據歐姆定律，A、G兩點間的電勢差為

．

因從A端流入（或G端流出）的電流強度為I，故等效電阻

（2）由于對稱性，AB、AE、CD和HD都有相同電流，設為i，又設AD中的電流為j，則在B、E、H和C各點都將電流i再分成和，流經FG的電流則為2i．立方體各邊的電流如圖所示．

根據歐姆定律，A、D兩點間的電勢差

．

而，，

，，故

． ①

同樣從可得

②

從①式和②式可解得

． ③

將③式代入②式可得．

即,等效電阻

（3）在B與F、C與G、D與H之間短路后，由對稱性知，AB和AD中流過的電流應相同（設為i），EH和EF中流過的電流也應相等（設為），并根據在每一節點上流進的總電流等于流出的總電流的原則，把經短路后的電路簡化為如圖所示的電路．

在圖上標出每一支路及從A、G端流進或流出的電流的數值，根據歐姆定律，可得以下關系

．

而，，，

代入上式可得，

又，

，，

故，等效電阻

．

本題解析中采用的等勢法和分流法都是電路分析中常用的方法，應熟練掌握．