Question

在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊長分別為a，b，c，其外接圓的半徑R=

5 6

36

，則(a2+b2+c2)(

1

sin2A

+

1

sin2B

+

1

sin2C

)的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先利用正弦定理用a，b和c以及R分別表示出sinA，sinB，sinC，進而把原式展開后利用基本不等式求得其最小值．

解答：解：由正弦定理可知

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R
∴sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

，sinC=

c

2R

∴(a2+b2+c2)(

1

sin2A

+

1

sin2B

+

1

sin2C

)
=4R²（a²+b²+c²）（

1

a2

+

1

b2

 +

1

c2

）
=4R²（3+

a2

b2

+

b2

a2

+

a2

c2

+

c2

a2

+

c2

b2

+

b2

c2

）≥4R²（3+2+2+2）=

25

6

（當且僅當a=b=c時等號成立）．
故答案為：

25

6

點評：本題主要考查了正弦定理的應用，基本不等式在最值問題中的應用．解題的關鍵是利用正弦定理把問題轉化為邊的問題，進行解決．