Question

【題目】從z軸上的O點發射一束電量為、質量為m的帶電粒子，它們速度的方向分布在以O點為頂點，z軸為對稱軸的一個頂角很小的錐體內（如圖甲所示），速度的大小都等于v。試設計一種勻強磁場，能使這束帶電粒子會聚于Z軸上的另一點M，M點離開O點的距離為d。要求給出該磁場的方向、磁感應強度的大小和最小值。不計粒子間的相互作用和重力的作用。

Answer 1

【答案】，最小值為。

【解析】

設計的磁場為沿z軸方向的勻強磁場，O點和M點都處于這個磁場中。下面我們根據題意求出這種磁場的磁感應強度的大小。粒子由O點射出就進入了磁場，可將與z軸成角的速度分解成沿磁場方向的分速度和垂直于磁場方向的分速度（如圖乙所示），注意到很小，得

， ①

。 ②

粒子因具有垂直磁場方向的分速度，在洛侖茲力作用下做圓周運動，以R表示圓周的半徑，有

。

圓周運動的周期為，

由此得。 ③

可見周期與速度分量無關。

粒子因具有沿磁場方向的分速度，將沿磁場方向做勻速直線運動。由于兩種分速度同時存在，粒子將沿磁場方向做螺旋運動，螺旋運動的螺距為

。 ④

由于它們具有相同的v，因而也就具有相同的螺距；又由于這些粒子是從同一點射出的，所以經過整數個螺距（最小是一個螺距）又必定會聚于同一點。只要使OM等于一個螺距或一個螺距的n（整數）倍，由O點射出的粒子繞磁場方向旋轉一周（或若干周后）必定會聚于M點，如圖丙所示。所以

。 ⑤

由式③④⑤解得

。 ⑥

這就是所要求磁場的磁感應強度的大小，最小值應取，所以磁感應強度的最小值為

。