Question

【題目】如圖所示，截面呈圓形的細管被彎成大圓環，并固定在豎直平面內。在管內的底部A處有一個質量為m、直徑比細管直徑略小的小球，其上連有一根穿過環頂B處管口的輕繩，輕繩在外力F的作用下拉動小球以恒定的速率v沿管壁做半徑為R的勻速圓周運動。已知小球與管內壁中位于大環內側部分的壁光滑，外側部分的壁粗糙（與小球的摩擦系數為）。忽略大環內、外半徑的差別，認為均為R，試求A到B過程中外力F對球所做的功。

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖乙所示，在拉起的過程中，由，故尋求即可。

因為，

而，

所以。

將軌道分為很多微小的元段，每個元段的長度為，則每元段對應摩擦力做功

。

功是標量，求和遵從代數累積，故

。

其結果需要分兩種情形討論——

1．若N始終存在且大于零，即（或），

則求和為全程累積，有

，，所以。

2．若，

N存在的最大角度，

求和為部分累積，有

，，所以

。

故：若，則；

若，則

。