Question

【題目】已知A、B兩個(gè)小球質(zhì)量相同，A、B、地面三者之間的碰撞均為彈性碰撞，初始位置如圖所示，、均為已知，求A、B所構(gòu)成的系統(tǒng)形成周期性運(yùn)動(dòng)的條件，要求不出現(xiàn)三體相碰。

Answer 1

【答案】當(dāng)（、，，、為一奇一偶）時(shí)，系統(tǒng)做周期性運(yùn)動(dòng)，且不出現(xiàn)三體相碰的狀態(tài)。

【解析】

解析：A、B球質(zhì)量相等，故彈性碰撞時(shí)交換適動(dòng)狀態(tài)，因此，兩球的運(yùn)動(dòng)可視為獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，互不影響，只是A、B球在碰撞后相互替代。若A、B球獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，則有如下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

A球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：A球從處自由落體，碰地后豎直上拋，其運(yùn)動(dòng)周期為。

B球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：B球從處自由落體，碰地后豎直上拋，其運(yùn)動(dòng)周期為。

顯然，運(yùn)動(dòng)過程中A球始終在B球的上方，則A、B共同運(yùn)動(dòng)的周期T為與的最小公倍數(shù)。

所以T存在的條件為有理數(shù)，即

（、，，、互質(zhì)）。

另外，不出現(xiàn)三體相碰的條件為、為一奇一偶。所以，所求條件為

當(dāng)（、，，、為一奇一偶）時(shí)，系統(tǒng)做周期性運(yùn)動(dòng)，且不出現(xiàn)三體相碰的狀態(tài)。