Question

【題目】碰撞后動能之和等于碰撞前動能之和的碰撞，稱為彈性碰撞。

（1）質量分別為，的兩個小球以同方向的速度，發生彈性碰撞，已知，碰后速度分別記為，。假設碰撞是彈性碰撞，試列出方程求解得出，。

（2）光滑的水平桌面上平放著一個半徑為R，內壁光滑的固定圓環，質量分別為m、2m、m的小球A、B、C在圓環內側的位置和速度大小方向均在圖甲中標出。初始B小球靜止，已知所有碰撞為彈性碰撞。試問：經過多長時間，A、B、C三個小球又第一次恢復到原來位置？

Answer 1

【答案】（1）， （2）

【解析】

（1）由動量守恒定律有

。

由碰撞前后動能之和保持不變有

。

聯立解得，。

（2）建立以圓心為坐栝原點，AB方向為x軸正方向的平面直角坐標系，如圖乙所示。小球A運動半周后與小球B發生碰撞。此過程經歷時間為

。

設碰撞后小球A的速度為，小球B的速度為，規定逆時針方向為速度的正方向，由（1）問的結論可知

；。

之后，小球B與小球C以時間發生碰撞。由（1）問的結論可知碰撞后有

；。

由解得。

在時間內，小球B轉過的角度。

小球B與小球C碰撞后，A、C兩小球經時間發生碰撞。由于兩小球質量相等，碰撞后交換速度，有

；。

由解得。

小球A轉過的角度為。

系統與初始狀態的相對位置為順時針轉過了。

所經歷的時間為。

要回到初始位置，設需要上述n個周期，則

，

解得。

當時，n有最小值，且，故

。