Question

【題目】一艘宇宙飛船以的速度于中午飛經地球，此時飛船上和地球上的觀察者都把自己的時鐘撥到12點

（1）按飛船上的時鐘于午后12點30分飛經一星際宇航站，該站相對于地球固定，且該宇航站上的時鐘指示的是地球時間，試求飛船到達該站時宇航站的時鐘所指的時刻

（2）試問：按地球上的坐標測量，宇航站離地球多遠？

（3）飛船于飛船時間午后12點30分向地球發送無線電信號，試問：地球上的觀察者何時（按地球時間）接收到該信號？

（4）若地球上的觀察者在接收到信號后立即發出回答信號，試問：飛船何時（按飛船時間）接收到回答信號？

Answer 1

【答案】（1）n（2）（3）在1點30分接收到信號（4）午后4點30分（飛船時間）

【解析】

（1）由靜止在飛船上的時鐘測定，飛船從地球到宇航站所需的時間為本征時間. 由地球上觀察者測量，飛船飛行所需的時間為，式中.

（2）宇航站相對地球靜止，飛船在飛行時間內所走的距離（即為宇航站與地球的距離）為.

（3）對地球上的觀察者來說，無線電信號發自相對靜止的宇航站所在地，故傳至地球需要的時間為.

飛船飛行時間加信號傳播時間共，所以，地球在1點30分接收到信號.

（4）以地球為參考系. 設飛船發出信號至接收地球發出的回答信號共需要時間（地球時間），在這段時間內飛船信號傳播了的距離，回答信號傳播了的距離，故滿足，解得.

加上飛船從地球至宇航站的飛行時間，共，故飛船收到回答信號的地球時間為午后7點30分. 將上述時間變換到飛船時間為.

故飛船收到回答信號的時間為午后4點30分.

以飛船為參考系. 設從發出信號至收到信號共需時間. 從飛船參考系看來，地球和宇航站在運動，地球與宇航站之間的距離要經受洛侖茲收縮，信號從飛船至地球的傳播距離為，光信號追地球的相對速度為，所以，飛船發出的信號至地球所需的時間為.

地球發回的信號相對飛船的速度仍為，故信號被飛船收到所需的時間. 這樣，信號來回的時間為.

由于飛船從地球至宇航站需時，所以，飛船接收到回答信號的時間為午后4點30分（飛船時間）.

本題是討論相對論運動效應的典型模型. 光信號在地球與飛船間往復傳遞，計算其傳播時間，必須時刻注意事件發生的參照系與地點，充分理解不同參照系、不同地點的時間含義及轉換關系，時時防止自己用伽利略變換替代洛倫茲變換，防止用牛頓的時空觀來替代愛因斯坦的時空觀，不然就會讓自己趕緊是走入了迷宮一般.