Question

【題目】如圖所示，一個半徑為、質量為的不動地球，在地球表面上方，高為處靜止釋放一個小物體（），此物體自由下落，當達到地球表面時，正好落入過地球中心的光滑細隧道中，物體從隧道的另一出口出來，繼續向前運動到達最高點，然后返回，以后就按這樣的方式來回運動，求物體運動的周期.

Answer 1

【答案】

【解析】

本系統具有對稱性，易判定其運動關于點對稱，且只需討論物體在、兩段的運動即可.

先確定物體在段的運動時間.

物體由沿直線下落，這實際上是退化了的橢圓的一部分，我們可作一個近似于直線的橢圓，如圖乙所示，物體與球心的連線在這段時間內掃過的面積如圖中的陰影部分，物體從橢圓的頂端下落的時間可用開普勒第二定律求得，即

，

其中應用開普勒第三定律求解，得

，

所以，，

所以，.

再確定物體在段的運動時間.

由圖可寫出物體在隧道中的動力學方程：

.

顯然，這是角頻率為的諧振動.為了求，應先確定諧振動的振幅，設物體進入軌道時的初速度為，則

.

物體從到的過程中，由機械能守恒可得

.

聯立上述各式可得

，

所以，.

所以由參考圓（圖）可得，物體從球面到球心所需時間為

，

其中，

所以，.

最后得小物體運動的周期為

.

閱讀完本題，如果將本題拆解成若干小題，你能將本題拆解成多少道獨立的小題呢？

至少，小物體從下落至可作為一道小題吧？小物體在隧道內的動力學問題可作為一道小題吧？小物體在隧道內的非完整的諧振動是一道小題吧？這些小題沒有一道是輕松簡單的，而將它們串接起來，讓你在有限的時間內作出正確的解答，肯定不是一件輕松的事兒.

什么是綜合題？綜合題不能簡單地說是難題，因為有些綜合題可能稱不上是難題，但綜合題一定包含了多個過程，或涉及多個對象，或涉及眾多的知識點，或必須用到多個物理規律，或需要復雜的數學運算，或需要用多個物理思想方法……而處理綜合題最普遍的方法便是將其拆解為多個我們平時所熟悉的小題，能否拆解，一定程度上也決定了我們能否作出正確的解答，同時也展示了我們能力的高低.