Question

【題目】重為的圓柱位于可動的水平平面與固定的傾角為的斜面之間，如圖所示，圓柱體與水平面間的動摩擦因數和靜摩擦因數均為，圓柱體與斜面間的動摩擦因數和靜摩擦因數均為，為使水平面能向左勻速運動，至少要對它施以多大的力？不考慮圓柱以外的物體施于水平面的阻力.

Answer 1

【答案】若，則不管為何值，均有；若，且，則；

若，且，則無論用多大的水平力均不可能使水平板向左做勻速運動.

【解析】

如圖乙所示,由于水平面向左勻速運動,圓柱有隨之運動的趨勢,但受到斜面的限制,圓柱不能隨水平板一起向左運動,由此圓柱受到水平板的方向向左的摩擦力的作用.在圖乙所示的位置時,圓柱的運動狀態只可能是以下三種形式中的一種,即:

(1)圓柱與水平面的接觸點處不發生滑動,即圓柱沿順時針方向繞點做無滑滾動,由于水平板的運動是勻速的,則此時圓柱體的轉動也是勻速的。

(2)圓柱與斜面的接觸點處不發生滑動,而圓柱與水平面的接觸點處發生滑動,此時圓柱處于靜止狀態(當然圓柱也沒有轉動);

(3)圓柱在處和處均不發生滑動,這時圓柱也是處于靜止狀態,且圓柱下的水平面也被“卡死”而不能發生運動。

以上三種情況下,圓柱均處于平衡狀態(靜止或勻速轉動),可根據圓柱所受合力矩為零的條件定出斜面對圓柱體的摩擦力方向應沿斜面向下故得這三種情況下圓柱體的受力如圖乙所示:其中為圓柱體的重力,和為水平面對圓柱體的彈力和摩擦力,和為斜面對圓柱體的彈力和摩擦力。

對于圓柱體，以點為轉軸時其轉動平衡方程為，

式中表示圓柱的半徑，可見與大小相等，以表示之，則有

. ①

對圓柱體以點為轉軸列轉動平衡方程，則.

由于，則上式變為

. ②

對圓柱體列其水平方向受力平衡的方程，則.

故得

. ③

（1）現就處無相對滑動而處有相對滑動的情況入手進行討論，此時相當于圓柱在水平板上做順時針方向的無滑滾動. 如圖丙所示，以點為轉軸，圓柱能發生順時針方向轉動的條件是和對點的合力矩應沿順時針方向，即對點的力矩值應大于對點的力矩值，則，即. ④

而，可見當時，任意大小的和都可以保證④式的成立，這時，不管有多大，也不管對水平板施加多大的外力，均可使圓柱在水平板上做無滑滾動. 顯然，為使水平板維持勻速運動的最小外力是.

若，則由和作用于圓柱的力矩將要求圓柱繞點沿順時針方向轉動，顯然，這是不可能的. 即在這種情況下，在點圓柱與斜面之間不可能再發生相對運動了.

（2）當時，設在點發生相對滑動，則有

. ⑤

由②③⑤式，有，所以，.

令，則上式可以寫為

. ⑥

若，則為某一正值，表明上述假設在點發生相對滑動（此時在點無相對滑動）是成立的. 此時拉水平板勻速前進的力與大小相等，由③式和⑥式，有，所以.

若，由⑥式可知無意義或為負值，結合本題實際表示的是在點不可能發生相對滑動，由前述這時在點也不能發生相對滑動. 即此時水平板已被“卡死”，不管用多大的水平力都不可能使它沿水平方向向左做勻速運動了.

綜合上述，本題的答案為

①若，則不管為何值，均有；

②若，且，則；

③若，且，則無論用多大的水平力均不可能使水平板向左勻速運動.

本題從模型的基本構造上看，也是以多點摩擦與臨界分析為主要問題的試題，但在臨界問題中嵌入了不確定狀態的分析，而且其不確定的狀態看上去還“有悖常理”. 如在拉動平板小車時，當時，居然有，因為模型最初給讀者的直覺是，只要拉動小車，圓柱體就會與斜面發生作用，力也就會隨之產生，拉力就不可能為0，而運算的結果顯示，在一定條件下，這種直覺是錯誤的.

數學與物理是緊密相關的，學習物理的確是需要直覺，但僅有直覺是不夠的，沒有嚴謹依據的直覺常常是錯的，而數學是嚴謹的，很多人常常在審題過程中從直覺開始構建模型，甚至是輸出結果，從而導致出錯，這是缺乏嚴謹思維的表現.

事實上，有很多我們不熟悉，甚至是“有悖”于自己認識的物理現象與規律，都是從嚴謹的數學分析中得出的，從數學結果分析物理問題的能力，也應是從事物理學習必備的能力之一.